Towards a New Logic of Indicative Conditionals

In this paper I will propose a refinement of the semantics of hypervaluations (Mura 2009), one in which a hypervaluation is built up on the basis of a set of valuations, instead of a single valuation. I shall define validity with respect to all the subsets of valuations. Focusing our attention on the set of valid sentences, it may easily shown that the rule substitution is restored and we may use valid schemas to represent classes of valid sentences sharing the same logical form. However, the resulting semantical theory TH turns out to be throughout a modal three-valued theory (modal symbols being definable in terms of the non modal connectives) and a fragment of it may be considered as a three-valued version of S5 system. Moreover, TH may be embedded in S5, in the sense that for every formula ϕ of TH there is a corresponding formula ϕ' of S5 such that ϕ' is S5-valid iff ϕ is TH-valid. The fundamental property of this system is that it allows the definition of a purely semantical relation of logical consequence which is coextensive to Adams’ p-entailment with respect to simple conditional sentences, without being defined in probabilistic terms. However, probability may be well be defined on the lattice of hypervaluated tri-events, and it may be proved that Adam’s p-entailment, once extended to all tri-events, coincides with our notion of logical consequence as defined in semantical terms.

Si propone un rafinamento della semantica delle ipervalutazioni (Mura 2009), secondo la quale una ipervalutazione è costruita sulla base di un insieme di valutazioni piuttosto che su una singola valutazione. La validità è definita rispetto all'insieme di tutti i sottoinsiemi di valutazioni. In tal modo è ripristinata la regola di sostituzione (non valida nella versione precedente), sì che riesce possibile il ricorso agli schemi per rappresentare insiemi di formule valide della medesima forma logica. La risultante teoria semantica TH è una logica modale a tre valori di verità (i simboli modali essendo definibili mediante i connettivi non modali)e un frammento di essa può essere cosniderato come una versione a tre valori del sistema S5. Inoltre TH può essere immersa in S5, nel senso che per ogni formula ϕ di TH c'è una corrispondente formula ϕ' di S5 tale che ϕ è valida in TH se e solo se ϕ' è valida in S5. La proprietà fondamentale di questo sistema consiste nel fatto che esso consente la definizione di una relazione puramente semantica di conseguenza logica che risulta essere coestensiva al p-entailment di Adams rispetto agli enunciati condizionali semplici, senza essere definita in termini probabilistici.D'altro canto la probabilità può essere estesa a tutto il reticolo dei trieventi ipervalutati e si può dimostrare che il p-entailmn4et di Adams, una volta esteso a tutti i trieventi, coincide con la nozione di conseguenza logica qui definita in termini semantici.